Question

11．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D复合，BD：DC=1：2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长．

Answer 1

分析 连结ED、EC，设AE=x．先由BC=6，BD：DC=1：2，求出BD=6×$\frac{1}{3}$=2．根据折叠的性质得出AE=DE=x，则BE=AB-AE=6-x．在Rt△BDE中，利用勾股定理得出x²=2²+（6-x）²，求出x=$\frac{10}{3}$，那么BE=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$．然后在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出EC．

解答 解：如图，连结ED、EC，设AE=x．
∵BC=6，BD：DC=1：2，
∴BD=6×$\frac{1}{3}$=2，DC=6-2=4．
∵把△ABC进行折叠，使点A与点D复合，折痕为EF，
∴AE=DE=x，
∴BE=AB-AE=6-x．
在Rt△BDE中，∵∠B=90°，
∴DE²=BD²+BE²，
∴x²=2²+（6-x）²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴BE=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$．
在Rt△BCE中，∵∠B=90°，
∴EC²=BC²+BE²=6²+（$\frac{8}{3}$）²=$\frac{388}{9}$，
∴EC=$\frac{2\sqrt{97}}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．在解决实际问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．