Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线y＝相交于点A1，A2，将抛物线y1向右平移后得抛物线y2，y2与直线y＝x交于点A2，A3，再将抛物线y2继续向右平移得抛物线y3，y3与直线y＝x交于点A3，A4……依此类推，请回答以下问题：

（1）求点A1，点A2的坐标．

（2）求抛物线y2的解析式．

（3）求AnAn+1的长（用含n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）点A1的坐标为，点A2的坐标（2，1）；（2）y＝（x﹣3）2；（3）.

【解析】

根据直线的解析式与抛物线的解析式直接列方程求解可解答第一问；先通过点A1和点A2的纵坐标可求出y1向右平移到y2的距离，进而可求出y2的对称轴位置，进而可求出y2解析式；通过找出前几个A1A2、A2A3、A3A4找出规律总结出AnAn+1的长度表达式.

解：（1）解方程组得，，

∴点A1的坐标为（，），点A2的坐标（2，1）；

（2）∵＝（x﹣1）2，

∴设抛物线y2的解析式为y＝（x﹣1﹣m）2，

把点A2的坐标（2，1）代入得，1＝（2﹣1﹣m）2，

解得：m＝2，m＝0（不合题意舍去），

∴抛物线y2的解析式为y＝（x﹣3）2；

（3）解方程组得，，

∴A3（，），

∴抛物线y3的解析式y＝（x﹣6）2，

∴A4（8，4），

∴A1A2＝，A2A3＝，A3A4＝…，

∴AnAn+1的长＝．