Question

7．己知二次函数y=-x²+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	1	2	3	4	5	…
-x2+bx+c	…	-3		1		-3	…

（1）该二次函数的解析式为y=-x²+6x-8；
（2）请在表格内的空格中填入适当的数；
（3）直接写出y＞0时，x的取值范围2＜x＜4；
（4）请说明经过怎样平移函数y=-x²+bx+c的图象得到函数y=-x²的图象？

Answer 1

分析 （1）取表中两组对应值代入y=-x²+bx+c中得到关于b和c的方程组，然后解方程组求出b和c的值即可；
（2）计算出自变量为2和4的函数值即可；
（3）利用（2）的计算结果和表中数据即可得到当2＜x＜4时，y＞0；
（4）由于抛物线y=-x²+6x-8的顶点坐标为（3，1），然后把抛物线平移转化为顶点的平移，再利用点平移的规律求解．

解答 解：（1）把（1，-3），（3，1）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=-3}\\{-9+3b+c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=-8}\end{array}\right.$．
所以二次函数解析式为y=-x²+6x-8；
（2）当x=2时，y=-x²+6x-8=-4+12-8=0；
当x=4时，y=-x²+6x-8=-16+24-8=0；
所以空格中的数为0，0；
（3）当2＜x＜4时，y＞0；
（4）y=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，抛物线的顶点坐标为（3，1），
所以把抛物线y=-x²+6x-8向左平移3个单位，再向下平移1个单位即可得到函数y=-x²的图象．
故答案为y=-x²+6x-8；2＜x＜4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数图象与几何变换．