Question

4．小明与小红分别住在东西大街相距10（1+$\sqrt{3}$）km的点A与点B处．在小明家北偏东45°与小红家北偏西30°的方向有两条公路交于点C，在点C的南偏西15°的方向上，且在点A与点B之间有一个以点D为圆心的方圆5km的大型批发市场．
（1）分别求A和C、A和D之间的距离；
（2）判断公路BC是否穿过批发市场．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，根据等腰直角三角形得出AE=CE，根据tog∠CBD=tog60°=$\frac{CE}{BE}$=$\sqrt{3}$，求得CE=$\sqrt{3}$BE，从而得出$\sqrt{3}$BE+BE=10（1+$\sqrt{3}$），得出BE=10，进而求得AC=10$\sqrt{6}$，BC=20，然后通过证得△CDB∽△ACB，得出$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{20}{10（1+\sqrt{3}）}$，从而求得BD的长，进而求得AD的长．
（2）作DN⊥BC于N，通过正弦函数即可求得DN的长，从而判断公路BC不会穿过批发市场．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
∵∠CAD=45°，
∴AE=CE，
∵∠CBD=60°，
∴tog∠CBD=tog60°=$\frac{CE}{BE}$=$\sqrt{3}$，
∴CE=$\sqrt{3}$BE，
∵AB=AE+BE=10（1+$\sqrt{3}$），即$\sqrt{3}$BE+BE=10（1+$\sqrt{3}$），
∴BE=10，
∴AE=CE=10$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=20，
∵∠ACE=45°∠ECD=15°，
∴∠ACD=30°，
∴∠CDB=75°，
∵∠CAD=45°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=75°，
∴∠CDB=∠ACB，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△CDB∽△ACB，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{20}{10（1+\sqrt{3}）}$，
∴BD=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$×20=20$\sqrt{3}$-20=20（$\sqrt{3}$-1），
∴AD=AB-BD=10（1+$\sqrt{3}$）-20（$\sqrt{3}$-1）=30-10$\sqrt{3}$．
答：A和C、A和D之间的距离分别为10$\sqrt{6}$、10（3-$\sqrt{3}$）．
（2）作DN⊥BC于N，
∴DN=DB•sin60°=20（$\sqrt{3}$-1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=30-10$\sqrt{3}$＞5，
∴公路BC不会穿过批发市场．

点评 题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是构造出直角三角形，利用直角三角形的性质解答．