Question

如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，EF∥BC，若△ABC的面积为1，S_△AEF=2S_△EBC，则S_△CEF为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由EF∥BC，可得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²，然后设

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²=x²，即可得EF：BC=x，由同高三角形的面积比等于对应底的比，即可得S_△EFC：S_△EBC=EF：BC=x，继而可求得S_△ABC=S_△EBC+S_△AEF+S_△EFC=（3+x）S_△EBC，即可得方程

2

3+x

=x²，解此方程即可求得x的值，继而求得答案．

解答：解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²，
设

S△AEF

S△ABC

=（

EF

BC

）²=x²，
∴EF：BC=x，
∴S_△EFC：S_△EBC=EF：BC=x，
∴S_△EFC=xS_△EBC，
∵S_△AEF=2S_△EBC，
∴S_△ABC=S_△EBC+S_△AEF+S_△EFC=（3+x）S_△EBC，
∴

2

3+x

=x²，
∴x³+3x²-2=0，
即x³+x²+2x²-2=0，
∴x²（x+1）+2（x+1）（x-1）=0
∴（x+1）（x²+2x-2）=0，
∴x+1=0或x²+2x-2=0，
解得：x=-1（舍去）或x=

3

+1（舍去）或x=

3

-1，
∴S_△AEF=x²•S_△ABC=4-2

3

，
∴S_△EFC=xS_△EBC=

x

2

S_△AEF=

3 -1

2

×（4-2

3

）=3

3

-5．
故答案为：3

3

-5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．