Question

（本题12分）如图，二次函数的图象与x轴交于两个不同的点A（－2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连结BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式；
（2）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△相似，求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△外接圆圆心的坐标．

Answer 1

（1）D（1，0）（2）Q（2，）或（，）（3）M（，）

试题分析：解：（1）由题意，设二次函数为
把点C（0，3）代入得：
所以这个二次函数的解析式是　……2分
因为，所以抛物线的对称轴是直线，点D的坐标为（1，0）．　…………1分
由待定系数法得直线BC的解析式为．　………… 1分
（2）因为A（－2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0）．
所以OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，BC==5.

① 如图1，当时，,即,得.
过点Q作轴于点H，则QH∥CO.所以.解得.
把代入，得．
所以，此时，点Q的坐标为（2，）．　…………　2分
②如图2，当时，,即,得．
过点Q作轴于点G，则QG∥CO.所以.解得．
把代入，得．
所以，此时，点Q的坐标为（，）．…………2分
综上所述，点Q坐标为（2，）或（，）．
（3）当点Q的坐标为（2，）时，设圆心的M（，）．
由MD=MQ，得.
解得，则M（，）．　………… 4分
点评：此类试题属于难度一般的试题，考生在解答此类试题时一定要对二次函数的顶点坐标公式熟练把握和运用