Question

已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²+k+1=0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x₁、x₂，满足

1

x1

+

1

x2

=-2，试求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答：解：（1）∵方程有实数根，
∴△=4k²-4（k²+k+1）≥0，（2分）
解得k≤-1．（2分）

（2）由根与系数关系知：

x1+x2=2k x1x2=k2+k+1

，（2分）
又

1

x1

+

1

x2

=-2，化简代入得

2k

k2+k+1

=-2，（2分）
解得k=-1，（1分）
经检验k=-1是方程的根且使原方程有实数根，
∴k=-1．（1分）

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．