Question

3．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，过D作DF⊥AC于F，DM=DN，证明：AM+AN=2AF；
（2）如图2，若∠C=90°，∠BAC=60°，AC=9，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DG⊥AB于G，证明Rt△DFN≌Rt△DGM，得MG=NF，AG=AF，再把AM+AN变形即可得出等于2AF；
（2）过点D作DE⊥AB于E，可证明△MDE≌△NDC，得DM=DN，再证明△BDM为等腰三角形，根据直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，从而得出AB=18，AM=12，BM=DM=6，同理得：AN=DN=DM=6，即可求得四边形AMDN的周长．

解答 证明：（1）过点D作DG⊥AB于G，如图1，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴DF=DG，
在Rt△DFN和Rt△DGM中，
$\left\{\begin{array}{l}DF=DG\\ DN=DM\end{array}\right.$
∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL），
∴MG=NF
又∵AG=AF，
∴AM+AN=AG+MG+AN=AF+NF+AN=2AF；
（2）过点D作DE⊥AB于E，如图2，
在四边形ACDE中，∠EDC=360°-60°-90°-90°=120°，
∴∠EDN+∠MDE=120°，
又∠EDN+∠NDC=120°，
∴∠MDE=∠NDC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
在△MDE和△NDC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DEM=∠DCN\\ DE=DC\\∠MDE=∠NDC\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△NDC（ASA），
∴DM=DN，
∵ND∥AB，
∴∠NDC=∠B=30°，∠DNC=60°，
∴∠MDB=180°-120°-30°=30°，
∴△MDB为等腰三角形，
∴MB=MD，
∴∠ADM=90°，
∴AM=2DM，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AB=2AC=18，AM=$\frac{2}{3}$AB=12，BM=$\frac{1}{3}$AB=DM=6，
同理：AN=DN=DM=6，
∴四边形AMDN的周长为12+6+6+6=30．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练运用角平分线的性质定理、直角三角形的性质，要充分挖掘隐含条件，此类题学生丢分率较高，需注意．