Question

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线与点F，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF=BD，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到?ADBF是菱形，根据菱形的性质得到AB⊥DF，根据全等三角形的性质得到AC=AE=$\frac{1}{2}$AB，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠BDE，
在△AEF与△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BDE}\\{∠AEF=∠BED}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；

（2）解：∵∠ADF=∠BDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴?ADBF是菱形，
∴DF=2DE，AE⊥DF，
∵DF=2CD，
∵∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABC=30°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．