Question

8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，D是劣弧AC的中点，连接OD，交AC于点E，连接BD，交CE于点F，若EF：CF=1：3，OE=1.5，则BD的长度为（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先根据圆周角定理得出∠C=90°，再由D是劣弧AC的中点得出OD⊥AC，故AC=2CE，OE∥BC，设EF=x，则CF=3x，由三角形中位线定理得出BC的长，根据相似三角形的性质得出DE的长，故可得出⊙O的半径．由勾股定理求出AC的长，进而得出EF的长，根据勾股定理求出BF的长，进而可得出结论．

解答 解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵D是劣弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AC=2CE，OE∥BC．
∵EF：CF=1：3，OE=1.5，
∴设EF=x，则CF=3x，
∵点O是线段AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC=2OE=3．
∵OE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{3}$，即BF=3DE，BF=3DF，
∴DE=1，
∴OD=1.5+1=2.5，
∴AB=2OD=5，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-{BC}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EF=$\frac{1}{4}$CE=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\sqrt{{EF}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BF=3DF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=DF+BF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是垂径定理，涉及到垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．