Question

1．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于A点，与y轴交于点B，动点P从A点出发，以每秒2个单位速度沿射线AO匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动的时间为t（秒）．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）请求出t为何值时，△APQ与△ABO相似？
（3）若点C为为平面直角坐标系内一点，是否存在t值，使得以A、P、Q、C为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出C点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4分别令x=0，y=0即可解决问题．
（2）由△APQ与△ABO相似，得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$或$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{AP}{AB}$列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形列出方程求解①如图1中，当PQ=AP时，作QC∥PA，AC∥PQ，可得菱形APQC，连接PC交AQ于E．②如图2中，当QP=QA时，作PC∥AQ，AC∥PQ，可得菱形PQAC，连接CQ交PA于E．③如图3中，当AP=AQ，作OC∥AQ，QC∥OA，可得菱形APCQ．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{4}{3}$x+4令x=0，得y=4，可得B（0，4），
令y=0，得x=3，可得A（3，0）．
∴A（3，0），B（0，4）．

（2）在Rt△AOB中，∵OA=3．OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△APQ与△ABO相似，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AO}$或$\frac{AQ}{AO}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{5-t}{5}$=$\frac{t}{3}$或$\frac{5-t}{3}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{15}{8}$或$\frac{25}{8}$．

（3）①如图1中，当PQ=AP时，作QC∥PA，AC∥PQ，可得菱形APQC，连接PC交AQ于E．

∵四边形APQC是菱形，
∴PC⊥AQ，AE=QE，
∵cos∠PAE=$\frac{AE}{PA}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{2t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{25}{17}$．
②如图2中，当QP=QA时，作PC∥AQ，AC∥PQ，可得菱形PQAC，连接CQ交PA于E．

∵四边形PQAC是菱形，
∴PA⊥CQ，AE=PE，
∵cos∠EAQ=$\frac{AE}{AQ}$=$\frac{OA}{AB}$，
∴$\frac{t}{5-t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{15}{8}$．
③如图3中，当AP=AQ，作OC∥AQ，QC∥OA，可得菱形APCQ．

∵AP=AQ，
∴2t=5-t，
∴t=$\frac{5}{3}$．
综上所述，t=$\frac{25}{17}$s或$\frac{15}{8}$s或$\frac{5}{3}$s时，以A、P、Q、C为顶点的四边形为菱形．

点评 本题考查了相似形的综合题、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程，属于中考压轴题．