Question

如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN的长为      

Answer 1

连接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”证明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，从而有BE=EG=4，DF=FG=6，设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形对角线BD的长，再证明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值．
解：如图，连接GM，GN，

∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE，
同理可证△AGF≌△ADF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，
设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，
由勾股定理，得CE²+CF²=EF²，即（a-4）²+（a-6）²=10²，
解得a=12或-2（舍去负值），
∴BD=12，
易证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，
∴MG=BM=3，NG=ND=1-3-MN=9-MN，
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，
在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG²+NG²=MN²，
即（3）²+（9-MN）²=MN²，
解得MN=5故答案为：5．