分析 欲求:$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{(x-4)^{2}+1}$的最小值,可以转化为在x轴上取一点P(x,0),使得P到A(0,2),B(4,1)的距离之和最小,作A关于x轴的对称点C(0,-2),连接BC交x轴于P,此时PA+PB最小,由此即可解决问题.
解答 解:∵$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{(x-4)^{2}+1}$,
∴欲求:$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{(x-4)^{2}+1}$的最小值,可以转化为在x轴上取一点P(x,0),使得P到A(0,2),B(4,1)的距离之和最小,
作A关于x轴的对称点C(0,-2),连接BC交x轴于P,此时PA+PB最小,
∵直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-2,令y=0,得到x=$\frac{8}{3}$,
∴P($\frac{8}{3}$,0),
最小值=BC的长=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5.
故答案为5,$\frac{8}{3}$.
点评 本题考查轴对称-最短问题,勾股定理,两点间距离公式等知识,解题的关键是学会用转化是思想思考问题,属于中考常考题型.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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