Question

如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：过A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=，
∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；

（3）解：存在这样的点P．
理由是：∵
解之得EC=cm．
设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得
=，
∵AB=4，PC=7-x，
∴=
解之得x₁=1，x₂=6，
经检验都符合题意，
即BP=1cm或BP=6cm．
分析：（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；
（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；
（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质．