Question

7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M，N，若M是AB的中点，△OMN的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点M在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）设B点坐标为（a，b），根据中点坐标公式可得M（$\frac{1}{2}$a，b），由反比例函数图象上点的坐标特征得到N（a，$\frac{1}{2}$b）．根据△OMN的面积为3，列出方程ab-$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$b=3，求得ab=8，那么k=$\frac{1}{2}$ab=4，进而得到反比例函数的解析式；
（2）将点M（$\frac{1}{2}$a，b）代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，得到b=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a+3，即a=12-4b，代入ab=8，得出（12-4b）b=8，解方程求出b的值，进而得到点B的坐标．

解答 解：（1）设B点坐标为（a，b），
∵M是AB的中点，
∴M（$\frac{1}{2}$a，b），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M，N，
∴N（a，$\frac{1}{2}$b）．
∵△OMN的面积为3，
∴ab-$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•b-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$a•$\frac{1}{2}$b=3，
∴ab=8，
∴k=$\frac{1}{2}$ab=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵点M（$\frac{1}{2}$a，b）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴b=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a+3，即a=12-4b，
又∵ab=8，
∴（12-4b）b=8，
解得b=1或2，
当b=1时，a=8，点B的坐标为（8，1）；
当b=2时，a=4，点B的坐标为（4，2）．
综上所述，点B的坐标为（8，1）或（4，2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，中点坐标公式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，一元二次方程的解法，难度中等．