Question

如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，在此直角坐标系中画直线y=kx+2，若直线y=kx+2与⊙O相切，则k=

-

3

或

3

．

Answer 1

分析：可设直线y=kx+2与x轴的交点坐标为B（a，0），根据勾股定理可用a表示出AB的长，再根据切线的性质和三角形的面积得到关于a的方程，解方程即可求得B点坐标，代入得到直线y=kx+2，得到关于k的方程，求解即可．

解答：解：如图，过O点作OC⊥AB于C．
设直线y=kx+2与x轴的交点坐标为B（a，0），依题意有
OA=2，OB=|a|，
则AB=

4+a2

，
则

1

2

×2×|a|=

1

2

×1×

4+a2

，
解得a=±

2 3

3

，
当a=

2 3

3

时，把B（

2 3

3

，0）代入y=kx+2，得

2 3

3

k+2=0，解得k=-

3

；
当a=-

2 3

3

时，把B（-

2 3

3

，0）代入y=kx+2，得-

2 3

3

k+2=0，解得k=

3

．
故k=-

3

或

3

．
故答案为：-

3

或

3

．

点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题涉及的知识点有直线与坐标轴的交点坐标，勾股定理的应用，切线的性质和三角形的面积，解方程，综合性较强，注意分两种情况讨论求解．