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20.已知,E为正方形ABCD边BC所在直线上一点(与B、C不重合),AE⊥EF,且F在∠BCD的外角平分线上,给出以下命题:①AE=EF;②在边AB上存在点M,使得MEFD是平行四边形;③存在点E,使得AEFC是正方形;④在边AB上存在点N,使得NEFD是矩形.其中正确的命题是①②③(填序号)

分析 当点E在BC上,在AB上截取AG=EC,连接GE,如图1,通过证明△AEG≌△EFC得到AE=EF;当E点在BC的延长线上时,延长BA到G,使AG=CE,连接GE,如图2,通过证明△MAE≌△CEF得到AE=EF;如图3,当AM=BE时,易得△ADM≌△BAE,则DM=AE,DM⊥AE,所以DM=EF,DM∥EF,于是可判断四边形MEFD是平行四边形;如图4,当AE⊥AC时,易得AEFC为矩形,加上AE=EF,则可判断四边形AEFC为正方形;由于AE⊥EF,则NE不能垂直EF,于是可判断在边AB上不存在点N,使得NEFD是矩形.

解答 解:当点E在BC上,在AB上截取AG=EC,连接GE,如图1,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEB+∠CEF=90°,
而∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∵AG=EC,AB=BC,
∴BG=BE,
∴∠BGE=45°,
而F在∠BCD的外角平分线上,
∴∠AGE=∠ECF=135°,
在△AEM和△EFC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEC}\\{AG=EC}\\{∠AGE=∠ECF}\end{array}\right.$,
∴△AEG≌△EFC(ASA),
∴AE=EF;
当E点在BC的延长线上时,延长BA到G,使AG=CE,连接GE,如图2,
∴BG=BE,
∴∠BGE=45°,
∴∠BGE=∠ECF,
又∵AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,
又∵∠GAD=∠AEF=90°,
∴∠DAE+∠GAD=∠BEA+∠AEF,
即∠GAE=∠CEF,
在△GAE和△CEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ECF}\\{AG=CE}\\{∠GAE=∠CEF}\end{array}\right.$,
∴△MAE≌△CEF(ASA),
∴AE=EF,所以①正确;
如图3,当AM=BE时,易得△ADM≌△BAE,
∴DM=AE,DM⊥AE,
∵AE⊥EF,AE=EF,
∴DM=EF,DM∥EF,
∴四边形MEFD是平行四边形,所以②正确;
如图4,当AE⊥AC时,易得AEFC为矩形,
而AE=EF,
∴四边形AEFC为正方形,所以③正确;
∵AE⊥EF,
∴NE不能垂直EF,
∴在边AB上不存在点N,使得NEFD是矩形,所以④错误.
故答案为①②③.

点评 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式. 2、有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质.

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