Question

6．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（x₁，0），（x₂，0）两点，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，与y轴交于（0，-2）．下列结论：①2a+b＞1； ②a+b＞2；③a-b＜2；④3a+b＞0； ⑤a＜-1．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先根据抛物线的开口方向判断出a的符号，再根据与y轴交点求出c=-2，
①将x=2代入原方程，可知此时y＜0，再根据c=-2即可求出2a+b＜1；
②当x=1时，y＞0，易得a+b+c＞0，可得c=-2，可得结论；
③将x=-1代入y=a-b+c＜0，结合c=-2，可知a-b＜-c，即得a-b＜2；
④根据0＜x₁＜1，1＜x₂＜2判断出1＜x₁+x₂＜3，再根据x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，判断出1＜-$\frac{b}{a}$＜3，可知3a+b＜0；
⑤根据0＜x₁x₂＜2和x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜2，求出c=-2，可判断a＜-1．

解答 解：如图：
0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，并且图象与y轴相交于点（0，-2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=-2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故本选项错误；
②∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=-2，
∴a+b-2＞0，故此选项正确；
③当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∵c=-2，
∴a-b＜-c，
即a-b＜2，
故本选项正确；
④∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜x₁+x₂＜3，
又∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
∴1＜-$\frac{b}{a}$＜3，
∴3a+b＜0，
故本选项错误；
⑤∵0＜x₁x₂＜2，x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜2，
又∵c=-2，
∴a＜-1．
故本选项正确；
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，关键是根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．