【题目】如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在 上且不与A点重合,但Q点可与B点重合.
发现: 的长与 的长之和为定值l,求l:
【答案】解:如图1,连接OP、OQ,
∵AB=4,
∴OP=OQ=2,
∵PQ=2,
∴△OPQ是等边三角形,
∴∠POQ=60°,
∴ = = ,
又∵半圆O的长为: π×4=2π,
∴ + =2π﹣ π= ,
∴l= π;
思考:点M与AB的最大距离为 , 此时点P,A间的距离为 ;
点M与AB的最小距离为 , 此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为 ;
|2|| ﹣
探究:当半圆M与AB相切时,求 的长.
(注:结果保留π,cos35°= ,cos55°= )
解:当半圆M与AB相切时,
此时,MC=1,
如图4,当点C在线段OA上时,
在Rt△OCM中,
由勾股定理可求得:OC= ,
∴cos∠AOM= = ,
∴∠AOM=35°,
∵∠POM=30°,
∴∠AOP=∠AOM﹣∠POM=5°,
∴ = = ,
当点C在线段OB上时,
此时,∠BOM=35°,
∵∠POM=30°,
∴∠AOP=180°﹣∠POM﹣∠BOM=115°
∴ = = ,
综上所述,当半圆M与AB相切时, 的长为 或 .
【解析】解:发现: 思考:如图2,过点M作MC⊥AB于点C,
连接OM,
∵OP=2,PM=1,
∴由勾股定理可知:OM= ,
当C与O重合时,
M与AB的距离最大,最大值为 ,
连接AP,
此时,OM⊥AB,
∴∠AOP=60°,
∵OA=OP,
∴△AOP是等边三角形,
∴AP=2,
如图3,当Q与B重合时,
连接DM,
∵∠MOQ=30°,
∴MC= OM= ,
此时,M与AB的距离最小,最小值为 ,
设此时半圆M与AB交于点D,
DM=MB=1,
∵∠ABP=60°,
∴△DMB是等边三角形,
∴∠DMB=60°,
∴扇形DMB的面积为: = ,
△DMB的面积为: MCDB= × ×1= ,
∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为: ﹣ ;
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【题目】某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为100万元,今年销售额只有90万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元?
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆进价为7.5万元,B款汽车每辆进价为6万元,公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆,有几种进货方案?
(3)如果B款汽车每辆售价为8万元,为打开B款汽车的销路,公司决定每售出一辆B款汽车,返还顾客现金a万元,要使(2)中所有的方案获利相同,a值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?
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【题目】如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是 .
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【题目】小明在学习了《展开与折叠》这一课后,明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,即图中的①和②.根据你所学的知识,回答下列问题:
(1)小明总共剪开了_______条棱.
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒,你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置?请你帮助小明在①上补全.
(3)小明说:他所剪的所有棱中,最长的一条棱是最短的一条棱的5倍.现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形,并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm,求这个长方体纸盒的体积.
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【题目】设抛物线的解析式为y=ax2 , 过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);过点B2( ,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A2;…;过点Bn(( )n﹣1 , 0)(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An , 连接AnBn+1 , 得Rt△AnBnBn+1 .
(1)求a的值;
(2)直接写出线段AnBn , BnBn+1的长(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:
①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?
②设1≤k<m≤n(k,m均为正整数),问:是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=2,FD=4,则BC的长为( )
A.6
B.2
C.4
D.4
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【题目】已知凸四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如图1,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明.
(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明.
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【题目】如图所示,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.
(1)从火车站到码头怎样走最近,画图并说明理由;
(2)从码头到铁路怎样走最近,画图并说明理由;
(3)从火车站到河流怎样走最近,画图并说明理由.
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