Question

已知圆O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若圆O的半径为R．求证：AE•AF=2R²．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接BE，证△AOF∽△AEB，得出比例式，即可得出答案．

解答：证明：连接BE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠AEB=90°，又∠A=∠A，
∴△AOF∽△AEB，
∴

AF

AB

=

AO

AE

，则AE•AF=AO•AB，
∵AO=R，AB=2R，
∴AE•AF=2R²．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△AOF∽△AEB．