Question

20、如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线．

Answer 1

分析：（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么过A，D，C三点作⊙O，根据圆周角是直角所对的弦是直径得，AD为⊙O的直径，所以作AD的中点O即为圆心，再以点O为圆心，OA长为半径即可作出⊙O．
（2）先连接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，
那么∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，从而推出BC是过A，D，C三点的圆的切线．

解答：解：（1）作出圆心O，
以点O为圆心，OA长为半径作圆；

（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°．
∴AD是⊙O的直径
连接OC，∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．
∴BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切线．

点评：此题考查的是等腰三角形的性质和切线的判定及尺规作图，关键是首先确定AD为直径，再作圆．根据已知推出BC⊥OC．