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精英家教网在直角坐标系中,点A的坐标是(3,0),点P在第一象限内的直线y=-x+4上.设点P的坐标为(x,y).
(1)在所给直角坐标系(如图)中画出符合已知条件的图形,求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围;
(2)当S=
92
时,求点P的位置;
(3)若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形,请直接写出第四个顶点Q的坐标.
分析:(1)设出P点的坐标,利用三角形面积公式得到其面积S与其横坐标x之间的关系即可;
(2)将S的值代入解得x的值,然后代入一次函数的解析式求得y的值后即可得到P点的坐标;
(3)以这三点为三个顶点的平行四边形有4个,注意不要漏掉.
解答:解:(1)如图;
S=
1
2
OA•y
=
1
2
×3•y=
3
2
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=
3
2
(-x+4)
=-
3
2
x+6,
即S=-
3
2
x+6,
自变量x的取值范围为:0<x<4;

(2)∵S=-
3
2
x+6,当S=
9
2
时,得
-
3
2
x+6=
9
2

解得x=1,y=-x+4=3,
∴点P的坐标为(1,3),
[或∵S=
3
2
y,∴当S=
9
2
时,得
3
2
y=
9
2
,∴y=3,∴-x+4=3,得x=1,∴点P的坐标为(1,3)];

(3)第四个顶点Q的坐标为:Q(x+3,y),
或Q(x-3,y),
或Q(3-x,-y).
图示如下:其中Q(x+3,y)为图1;
Q(x-3,y)为图2与图3;
Q(3-x,-y)为图4.
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点评:本题是一道一次函数的综合题,题目中很好的渗透了分类讨论的数学思想,是一道中等难度的考题.
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