Question

如图1，过△ABC顶点A作BC边上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定λ_A=

DE

BE

．特别地，当D、E重合时，规定λ_A=0．另外对λ_B、λ_C也作类似规定．

（1）①当△ABC中，AB=AC时，则λ_A=

0

；②当△ABC中，λ_A=λ_B=0时，则△ABC的形状是

等边三角形

；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=30°，求λ_A和λ_C的值；
（3）如图3，正方形网格中，格点△ABC的λ_A=

2

；
（4）判断下列三种说法的正误（正确的打“√”错误的打“×”）
①若△ABC中λ_A＜1，则△ABC为锐角三角形

×

；
②若△ABC中λ_A=1，则△ABC为直角三角形

√

；
③若△ABC中λ_A＞1，则△ABC为钝角三角形

√

；
（5）通过本题解答，同学们应该有这样的认识：一个无论多么陌生、多么综合的问题，其实都来自于书本已学的基础知识．因此，我们今后应重视基础知识的学习；同时在解决问题时或者解决问题后，应该思考该问题的本质和目的：①巩固哪些基础知识；②培养我们哪些方面能力；③向我们渗透哪些数学思想．本题之所以是一道综合题，就是因为涉及到的知识点多、面广．下面就请你谈谈本题中所用到的、已学过的性质、定理、公理或判定等．（至少列举两条）

Answer 1

分析：（1）①根据题意画出图形，然后根据λ_A定义与等腰三角形三线合一的性质，即可求得λ_A=0，②根据λ_A定义与线段垂直平分线的性质，即可证得△ABC的形状是等边三角形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与特殊角的三角函数的值，即可求得答案；
（3）观察图形，根据λ_A的定义，即可求得λ_A的值；
（4）根据λ_A的定义，即可判定①②③的正确性；
（5）用到的定理：①等腰三角形中三线合一；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等．

解答： 解：（1）①如图：
∵AB=AC，
∴AD是BC的高，也是BC的中线，
即D与E重合，
∴λ_A=

DE

BE

=0；

②当△ABC中，λ_A=0时，
即DE=0，
∴AD是BC的高，也是BC的中线，
即AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵λ_B=0，
同理：BC=BA，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC的形状是等边三角形；

（2）如图，作BC边上的中线AD，过点C作CE⊥AB于E，作AB边上的中线CF，又AC⊥DC，
∴λ_A=

CD

BD

=1，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=

EF

AF

=

EF

CF

=cos60°=

1

2

；

（3）如图：λ_A=

DE

BE

=2；

（4）①×，②√，③√．

（5）用到的定理：①等腰三角形中三线合一；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半等．
故答案为：（1）0，等边三角形；（3）2；（4）①×，②√，③√．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题．此题综合性较强，属于阅读性与新定义性题目，题目难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．