Question

如图．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P为BC的中点，小明拿着含45°角的透明三角形，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转．
（1）如图①：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明△BPE∽△CFP．
（2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF．
探究1：△BPE与△CFP．还相似吗？（只需写结论）
探究2：连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）找出△BOE与△CFO的对应角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）探究1：△BPE与△CFP还相似，证明思路同（1）；究2：连接EF，△BPE与△EFP相似，根据有一夹角相等和夹边的比值相等的两个三角形相似证明即可．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）探究1：△BPE与△CFP还相似，
探究2：证明：连接EF，△BPE与△CFP相似，
∵△BPE∽△CFP，
∴

BE

CP

=

PE

FP

，
又∵CP=BP，
∴

BE

BP

=

PE

FP

，
∴

BE

PE

=

BP

FP

，
又∵∠B=∠EPF，
∴△BPE∽△EFP．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．