Question

【题目】如图，任意△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠A＝2∠BFC﹣180°；②DE﹣BD＝CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF．其中正确的有（　　）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，DE∥BC，易证得△BDF和△CEF都是等腰三角形，继而可得DE＝BD+CE，又由△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；即可得△ADE的周长等于AB与AC的和．

解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，

∴∠FBC＝∠ABF=，∠FCB＝∠ACF=，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A+2∠FBC+2∠FCB=180°，

∵∠BFC+∠FCB+∠BFC=180°，

∴∠A＝2∠BFC﹣180°，

故①正确；

∵DE∥BC，

∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，

∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，

∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，

∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，

∴DB＝DF，EF＝EC，

∴DE＝DF+EF＝BD+CE，

故②正确；

∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；

故③正确

∵∠ABC不一定等于∠ACB，

∴∠FBC不一定等于∠FCB，

∴BF与CF不一定相等，无法判断其大小，

故④错误；

故选：C．