Question

已知关于x的两个一元二次方程：
方程①: ;   方程②: .
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化
简；
（3）若方程①和②有一个公共根a, 求代数式的值．

Answer 1

（1）∵方程①有两个相等实数根,   

③ ④

   ∴

    由③得k + 2 ¹0,  
由④得 (k + 2) (k+4) =0.
∵ k + 2¹0,
∴ k="-4.                                         " …………………………1分
当k=-4时, 方程②为: .  
解得                   …………………………2分
（2）由方程②得 2="?" .
法一2????－1?＝-(k + 2) (k+4) =3k2＋6k+5 =3(k+1)2＋2>0.
∴ 2?>1.?                       …………………………………………………3分
∵方程①、②只有一个有实数根，
∴  2?>0> 1.??
∴此时方程①没有实数根.                      ………………………………4分
由 
得 (k + 2) (k+4)<0.                             ………………………………5分
.
∵ (k + 2) (k+4)<0,
∴.                    ………………………………6分
法二: ∵  2=?>0.
因此无论k为何值时, 方程②总有实数根.      …………………………………3分
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根.                    …………………………………4分
下同解法一.
( 3) 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,
∴; .  

…………………7分

   ∴, .

="2+3=5.                             " ……………………………………………8分
法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,
∴;   ③ .  ④
∴（③－④）2得   ⑤
由④得    ⑥                 …………………………7分
将⑤、⑥代入原式，得
原式=
=
="5.                              " ……………………………………………8分

解析