Question

【题目】如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，反比例函数y=图象经过AB的中点D（1，3），且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n．

（1）求k的值和点E的坐标；

（2）直接写出不等式-n＞mx的解集；

（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=图象上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k= 3，E（2，）；（2）0＜x＜1或x＞2；（3）存在；使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形的P点的坐标为（-2，-）或（，）．

【解析】

（1）将D的坐标，代入反比例函数的解析式可求得k的值，然后求得点E的纵坐标，然后将点E的横坐标代入反比例函数的解析式可求得点E的纵坐标；

（2）不等式-n＞mx的解集为反比例函数图象位于直线上方部分自变量x的取值范围；

（3）分为ED为平行四边形的一边和DE为平行四边形的对角线两种情况列方程求解即可．

解：（1）k=xy=1×3=3，

∴反比例函数的解析式为y=．

∵D是AB的中点，D（1，3），

∴E点的横坐标为2．

∴yE=．

∴E（2，）．

（2）∵不等式-n＞mx的解集为反比例函数图象位于直线上方部分自变量x的取值范围，

∴不等式的解集为0＜x＜1或x＞2．

（3）存在；

∵D（1，3），E（2，），以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，

当DE是平行四边形的边时，则PQ∥DE，且PQ=DE，

∴Q的纵坐标为0，

∴P的纵坐标为±，

令y=，则=，解得x=2（舍去），

令y=-，则-=，解得x=-2，

∴P点的坐标为（-2，-）；

当DE是平行四边形的对角线时，

∵D（1，3），E（2，），

∴DE的中点为（，），

设P（a，）、Q（x，0），

∴÷2=，=，解得：a=，x=．

∴P（，），

故使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形的P点的坐标为（-2，-）或（，）．