【题目】已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=____.45°;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4.求BD的长;
(3)如图3,若∠ABC=30°,∠ACD=45°,AC=2,B、D之间距离是否有最大值?如有求出最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)45°;(2)BD=5;(3)当B、O、D共线时,BD的值最大,最大值为2+.
【解析】
(1)由AC=AD得∠D=∠ACD,由平行四边形的性质得∠D=∠ABC,在△ACD中,由内角和定理求解;
(2)如图2,在△ABC外作等边△BAE,连接CE,利用旋转法证明△EAC≌△BAD,可证∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE;
(3)如图3中,在△ACD的外部作等边三角形△ACO,以O为圆心OA为半径作⊙O.首先说明点B在⊙O上运动,当B、O、D共线时,BD的值最大,求出OD即可解决问题;
(1)解:(1)如图1中,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.∠DAB+∠ABC=180°.
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC.
∵∠DAC=2∠ABC,
∴2∠ABC+2∠ABC=180°,
∴∠ABC=45°
故答案为:45;
(2)如图2,以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE,连接CE.
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.
即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD.
∴EC=BD.
∵△AEB是等边三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5.
(3)如图3中,在△ACD的外部作等边三角形△ACO,以O为圆心OA为半径作⊙O.
∵∠ABC=∠AOC=30°,
∴点B在⊙O上运动,
作OE⊥DA交DA的延长线于E.
在Rt△AOE中,OA=AC=2,∠EAO=30°,
∴OE=OA=1,AE=,
在Rt△ODE中,DE=AE+AD=2+,
∴DO==,
当B、O、D共线时,BD的值最大,最大值为OB+OD=2+.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=6cm,BC=4cm,AC=3cm.将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm,得到△DEF.
(1)四边形ABDF是什么四边形?
(2)求阴影部分的面积?
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【题目】已知如图,在△ABC 中,AB=AC,D、E 是 BC 上异于 B、C 的任意两点,连接 AD 和 AE,且AD=AE.
(1)图中有几组全等三角形?请分别写出来;
(2)选择其中的一组证明两三角形全等.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC
①求证:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
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【题目】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“美丽三角形”,
(1)如图△ABC中,AB=AC=,BC=2,求证:△ABC是“美丽三角形”;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,若△ABC是“美丽三角形”,求BC的长.
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【题目】某中学为了解该校九年级学生对观看“中国诗词大会”节目喜爱程度,对该校九年级学生进行了随机抽样调查,调查时,将喜爱程度分为四级:A级非常喜欢,B级喜欢,C级一般,D级不喜欢根据调查结果,绘制成如下两幅不完整的统计图请你结合图中信息解答下列问题:
本次调查共抽取______名学生,在扇形图中,表示A级的扇形的圆心角为______;
若该校九年级共有学生300人,请你估计不喜欢观看“中国诗词大会”节目的有多少人?并补全条形图;
已知在A级学生中有3名男生,现要从本次调查中的5名A级学生中,选出2名参加全市中学生诗词大会比赛,请用“列表”或“树形图”的方法,求选出的2名学生中至少有1名女生的概率.
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【题目】某小组在学校组织的研究性学习活动中了解所居住的小区500户居民的人均收入情况,从中随机调查了40户居民家庭收入情况(收入取整数,单位:元),并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图,根据以上提供的信息,解答下列问题:
分组 | 频数 | 百分比 |
600≤x<800 | 2 | 5% |
800≤x<1000 | 6 | 15% |
1000≤x<1200 | 45% | |
9 | 22.5% | |
1600≤x<1800 | 2 | |
合计 | 40 | 100% |
(1)补全频数分布表.
(2)补全频数分布直方图.
(3)请你估计该居民小区家庭人均收入属于中等收入(1000≤x<1600)的大约有多少户?
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【题目】已知,△ABC为等边三角形,点D为AC上的一个动点,点E为BC延长线上一点,且BD=DE.
(1)如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;
图1
(2)如图2,若点D在AC的延长线上,(1)中的结论是否成立,请说明理由.
图2
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