已知:关于x的方程x2-(m+2)x+m+1=0．(1)求证:该方程总有实数根,(2)若二次函数y=x2-与x轴交点为A.B.且两交点间的距离是2.求二次函数的表达式,(3)横.纵坐标都是整数的点叫做整点．在(2)的条件下.垂直于y轴的直线y=n与抛物线交于点E.F．若抛物线在点E.F之间的部分与线段EF所围成的区域内恰有7个整点.结合函数的图象.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．已知：关于x的方程x²-（m+2）x+m+1=0．
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）若二次函数y=x²-（m+2）x+m+1（m＞0）与x轴交点为A，B（点A在点B的左边），且两交点间的距离是2，求二次函数的表达式；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
在（2）的条件下，垂直于y轴的直线y=n与抛物线交于点E，F．若抛物线在点E，F之间的部分与线段EF所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

分析（1）根据关于x的方程x²-（m+2）x+m+1=0判别式的符号进行证明；
（2）将已知函数解析式转化为两点式方程，求得点A、B的横坐标，然后结合已知条件求得m的值即可；
（3）根据题意作出图形，结合图形直接写出n的取值范围．

解答解：（1）∵△=（m+2）²-4（m+1）=m²≥0，
∴不论m取何值，该方程总有实数根；

（2）由题意可知：y=x²-（m+2）x+m+1=（x-1）（x-m-1），
∴A（1，0），B（m+1，0）．
∵两交点间距离为2，
∴m+1-1=2．
∴m=2．
∴y=x²-4x+3；

（3）如图所示，

n的取值范围是：1≤n＜2．

点评本题考查了二次函数综合题，需要掌握抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的三种形式间的转化、抛物线解析式与一元二次方程的转化等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

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