Question

已知二次函数y=（m²-2）x²-4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y=x+1上，求这个二次函数的表达式．

Answer 1

分析：根据函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上，可求得y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，3）．从而求得m=-1或m=2，利用最高点在直线上可得a＜0，所以m=-1，n=-1，从而求得二次函数的表达式．

解答：解：∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上
∴y=2+1=3，
∴y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，3），
∴-

b

2a

=2，
∴-

-4m

2(m2-2)

=2，
解得m=-1或m=2，
∵最高点在直线上，
∴a＜0，
∴m=-1，
∴y=-x²+4x+n顶点为（2，3），
∴3=-4+8+n，
∴n=-1
则二次函数的表达式为y=-x²+4x-1．

点评：主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式和顶点公式的运用和最值与函数之间的关系．