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如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)根据抛物线的解析式,利用对称轴公式,可直接求出其对称轴.
(2)令x=0,可求出C点坐标,由BC∥x轴可知B,C关于抛物线的对称轴对称,可求出B点坐标,根据AC=BC可求出A点坐标.
(3)分三种情况讨论:
①以AB为腰且顶角为∠A,先求出AB的值,再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长,即可求出P1的坐标;
②以AB为腰且顶角为角B,根据MN的长和MP2的长,求出P2的纵坐标,已知其横坐标,可得其坐标;
③以AB为底,顶角为角P时,依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长,可得P3坐标.
解答:解:(1)抛物线的对称轴x=-=;(2分)

(2)由抛物线y=ax2-5ax+4可知C(0,4),对称轴x=-=
∴BC=5,B(5,4),又AC=BC=5,OC=4,
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AO=3,
∴A(-3,0)B(5,4)C(0,4)(5分)
把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中,
解得a=-,(6)
∴y=x2+x+4.(7分)

(3)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M.
过点B作BQ⊥x轴于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80(8分)
在Rt△ANP1中,P1N====
∴P1,-).(9分)
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:△P2AB.
在Rt△BMP2中MP2==
=
=,(10分)
∴P2=().(11分)
③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K,
∵∠CP3K=∠ABQ,∠CKP3=∠AQB,
∴RtP3CK∽RtBAQ.
==
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1,(13分)
∴P3(2.5,-1).(14分)
点评:此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程,用待定系数法求函数解析式等基础知识,还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题,有一定的开放性.
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8、如图,直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是(  )

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2
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),且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A,B两点.
(1)求a值;
(2)设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M,N两点(点M在点N的左边),y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E,F两点(点E在点F的左边),观察M,N,E,F四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;
(3)设A,B两点的横坐标分别记为xA,xB,若在x轴上有一动点Q(x,0),且xA≤x≤xB,过Q作一条垂直于x轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D精英家教网两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值,其最大值为多少?

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如图,抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴正半轴于点D,精英家教网O为坐标原点,抛物线上一点C的横坐标为1.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求证:四边形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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已知:如图,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y=ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上,矩形面积为12,
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)⊙P是经过A、B两点的一个动圆,当⊙P与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为4时,求圆心P的坐标;
(3)若线段DO与AB交于点E,以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似,如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式;如果不可能,请说明理由.

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已知:如图,抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C(0,-2),精英家教网与x轴交于点A、B,点A的坐标为(-2,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)M是线段OB上一动点,N是线段OC上一动点,且ON=2OM,分别连接MC、MN.当△MNC的面积最大时,求点M、N的坐标;
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