Question

5．△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，∠CDE=45°，若BD=1，EF=2$\sqrt{5}$，则AD的长为4．

Answer 1

分析 作CM⊥AB于M，CN∥DE交AB于N．首先证明BF=BD=1，设CF=DN=x，AN=y，则AC=x+y，在Rt△ABC利用勾股定理推出x²=2y，由CN∥DE，得$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AN}{DN}$，得$\frac{x+y}{EC}$=$\frac{y}{x}$，得EC=$\frac{{x}^{2}+xy}{y}$=2+x，在Rt△EFC中，由EF²=EC²+CF²，可得x²+（2+x）²=（2$\sqrt{5}$）²，解方程即可解决问题．

解答 解：如图，作CM⊥AB于M，CN∥DE交AB于N．

∵∠ACB=∠AMC=90°，
∴∠ACM+∠A=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACM=∠B，同理∠A=∠BCM，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ACM+∠DCM=∠B+∠BCD，
∴∠DCB=∠DCM，设∠DCB=∠DCM=α，则∠BCM=∠A=2α，
∵∠BFD=∠EDC+α=45°+α，∠B=90°-2α，
∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=45°+α，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BF=BD=1，
∵DF∥CN，
∴∠BCN=∠BFD，∠BNC=∠BDF，
∴∠BCN=∠BNC，
∴BC=DN，设BC=DN=x，AN=y，则AC=x+y，
在Rt△ABC中，∵BC²+AC²=AB²，
∴（1+x）²+（x+y）²=（1+x+y）²，
∴x²=2y，
∵CN∥DE，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AN}{DN}$，
∴$\frac{x+y}{EC}$=$\frac{y}{x}$，
∴EC=$\frac{{x}^{2}+xy}{y}$=2+x，
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+CF²，
∴x²+（2+x）²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴x=2，y=2，
∴AD=x+y=4．
故答案为4．

点评 本题考查等腰三角形的性质和判定、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．