Question

如图，抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x轴于点A、B（A在B的右边），直线y=（m+1）x-3经过点A．若m＜1．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）直线y=kx（k＜0）交直线y=（m+1）x-3于点P，交抛物线y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于点M，过M点作x轴垂线，垂足为D，交直线y=（m+1）x-3于点N．问：△PMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线和直线的解析式可知：抛物线与x轴的交点的横坐标为x=m-1，x=3．而直线与x轴交点的横坐标为x=，由于两函数都过A点，因此可求出三组m的值：①m=0，②m=2，③m=-2，由于m＜1，因此②舍去，根据抛物线与x轴有两个交点，那么△＞0，由此可舍去③．因此m的值为0，代入两函数中即可求出两函数的解析式．
（2）根据直线的解析式可求出A，C两点的坐标，这时可发现∠PNM=45°，如果要使△PMN是等腰三角形，应该满足的条件是PN=NM，PN=PM（当PM=MN时，直线y=kx与x轴重合，与k＜0不符）．
①当PN=MN时，∠PMN=45°，因此∠ODM=45°，直线y=kx在二四象限的角平分线上，因此k=-1．
②当PN=MN时，过P作y轴的垂线，设垂足为H，由于MN∥OC，因此∠NPM=∠NMP=∠COP=∠CPO，那么OC=CP=3，可在直角三角形PHC中，求出PH和CH的值．根据P点的坐标即可求出k的值．
解答：解：（1）抛物线解析式为y=-x²+2x+3．直线解析式为y=x-3．

（2）如图，点C坐标为（0，-3），∠PNM=45°若△PNM为等腰三角形，且k＜0，则PN=PM或PN=MN．

当PN=PM时，OD=DM，设M（m，-m），k=-1，
当PN=MN时，过点P作PH垂直y轴于点H．
PH=OH=3-
点P坐标为（，-3）
则k=1-．
综上所述，△PMN能为等腰三角形，k的值为-1或1-．
点评：数形结合、方程函数的数学思想在数学综合题中充分利用，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数和几何的结合上找出解题思路．