Question

10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D点是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的两个动点，DE⊥DF，EG⊥AB于G，FH⊥AB于H．
（1）求证：$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BC}{AC}$；
（2）求证：AG=DH．

Answer 1

分析 （1）连接CD，EF，根据已知条件得到∠ACB+∠EDF=180°，推出C，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠EFD=∠DCE，由于D点是AB的中点，得到CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCE=∠A，求得∠EFD=∠A，由于∠EDF=∠ACB，推出△ABC∽△FED，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据∠EFD=∠A，∠EDF=∠AGE=90°，得到△EDF∽△AGE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{EG}=\frac{DF}{DE}$证得∠HDF=∠GDE，推出△GDE∽△HFD，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{DE}=\frac{DH}{EG}$，等量代换得到$\frac{AG}{EG}=\frac{DH}{EG}$，根据比例的性质得到AG=DH．

解答 证明：（1）连接CD，EF，
∵∠ACB=90°，DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ACB+∠EDF=180°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠EFD=∠DCE，
∵D点是AB的中点，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCE=∠A，
∴∠EFD=∠A，
∵∠EDF=∠ACB，
∴△ABC∽△FED，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BC}{AC}$；

（2）∵∠EFD=∠A，∠EDF=∠AGE=90°，
∴△EDF∽△AGE，
∴$\frac{AG}{EG}=\frac{DF}{DE}$，
∵∠EDF=90°，
∴∠GDE+∠HDF=90°，
∵∠GDE+∠GED=90°，
∴∠HDF=∠GDE，
∴△GDE∽△HFD，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DH}{EG}$，
∴$\frac{AG}{EG}=\frac{DH}{EG}$，
∴AG=DH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．