Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），点D为顶点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D坐标；
（2）点P是抛物线第四象限上一点（不与点C、B重合），连接PB，以BP为边作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标（结果保留根号）；
（3）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E． 若线段BD上有一点Q，使∠DCQ=∠BDE，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1），将点C的坐标代入求得a的值，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）当点N在DE上时．过点P作PF⊥OB，垂足为F．先证明△NEB≌△BFP，于是得到BE=PF=2，设点P的坐标为（x，x²-2x-3）．由PF=2列出关于x的方程可求得点P的坐标；当点M在ED上时，过点P作PG⊥OB，垂足为G，过点P作PF⊥ED，垂足为F．先证明△PMF≌△PBG，设点P的坐标为（x，x²-2x-3）．然后依据PG=PF列出关于x的方程，从而可求得点P的坐标；
（3）连接BC，过点C作CH⊥DE于H，分别延长QC、DC，与x轴相交于点P，R．先证明△BCD∽△QOC，由相似三角形的性质可得到点P的坐标，然后再求得直线CP与直线BD的解析式，然后可求得两直线的交点坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1）．
∵将点C的坐标代入得：-3a=-3，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
∴y=（x-1）²-4．
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，-4）．
（2）如图1所示：当点N在DE上时．过点P作PF⊥OB，垂足为F．

∵BPMN为正方形，
∴∠NBE+∠PBF=90°．
又∵∠PBF+∠FPB=90°，
∴∠NBE=∠FPB．
在△NEB和△BFP中$\left\{\begin{array}{l}{∠NBE=∠FPB}\\{∠NEB=∠BFP=90°}\\{NB=PB}\end{array}\right.$，
∴△NEB≌△BFP．
∴BE=PF=2．
设点P的坐标为（x，x²-2x-3）．则-x²+2x+3=2整理得：x²-2x-1=0，
解得：x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴点P的坐标为（1+$\sqrt{2}$，-2）．
当点M在ED上时，如图2所示：过点P作PG⊥OB，垂足为G，过点P作PF⊥ED，垂足为F．

同理△PMF≌△PBG．
∴PG=PF．
设点P的坐标为（x，x²-2x-3）．则-x²+2x+3=x-1．整理得：x²-x-4=0，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去）．
∴点P纵坐标=-（x-1）=1-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
综上所述，点P的坐标为（1+$\sqrt{2}$，-2）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
（3）如图3所示：连接BC，过点C作CH⊥DE于H，分别延长QC、DC，与x轴相交于点P，R．

∵对称轴为直线x=1，
∴点E的坐标为（1，0）H点坐标为（1，-3）．
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$，CB=3$\sqrt{2}$，△BCD为直角三角形．
∵∠BDE=∠DCQ=∠PCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCQ，
∠PCO=∠RCO+∠PCR=45°+∠DCQ，
∴∠CDB=∠PCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴$\frac{PC}{OP}=\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OP=3OC=9，即P（-9，0）．
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-3，
设直线BD的解析式为y=kx+b．
∵将点B和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=-6．
∴直线BD的解析式为y=2x-6．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-3}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{7}}\\{y=-\frac{24}{7}}\end{array}\right.$．
∴点Q的坐标为（$\frac{9}{7}$，-$\frac{24}{7}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质，证得△BCD∽△QOC，从而得到P的坐标是解题的关键．