Question

10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：
（1）设AD、BC相交于点E，AB、CD的延长线相交于点F，则∠AEC=100°，∠AFC=20°；
（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知：∠ADC=∠ABC=60°，从而可求出∠ECD=40°，所以∠AEC=∠ECD+∠ADC=100°，再求出∠FAC=∠DAC+∠BAD=70°，从而可知∠AFC=90°-∠FAC=20°．
（2）连接CO，作OH⊥AC于点H，分别求出△AOC与扇形AOC的面积，从而可求出阴影部分面积．

解答 解：（1）由圆周角定理可知：∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DCA=90°，
∴∠ECD=∠DCA-∠ACB=40°，
∴∠AEC=∠ECD+∠ADC=100°，
由圆周角定理可知：∠BAD=∠ECD=40°，
∵∠DAC=180°-∠AEC-∠ACB=30°，
∴∠FAC=∠DAC+∠BAD=70°，
∴∠AFC=90°-∠FAC=20°，
（2）连接CO，作OH⊥AC于点H，
则∠AOC=2∠ABC=120°，
∠DAC=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$
AC=3$\sqrt{3}$
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC•OH=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
S_阴影=S_扇形-S_△AOC
=$\frac{120π×9}{360}$--$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
=3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
故答案为：（1）100°；20°

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，三角形内角和定理，扇形面积公式等知识，综合程度较高，属于中等题型．