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    已知：关于x的一元二次方程-x2+（m+4）x-4m=0，其中0＜m＜4．
    （1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；
    （2）设抛物线y=-x2+（m+4）x-4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，-2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式；
    （3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

    解：（1）将原方程整理，得x2-（m+4）x+4m=0，
    △=b2-4ac=[-（m+4）]2-4（4m）=m2-8m+16=（m-4）2＞0
    ∴；
    ∴x=m或x=4；

    （2）由（1）知，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的交点分别为（m，0）、（4，0），
    ∵A在B的左侧，0＜m＜4，
    ∴A（m，0），B（4，0）．
    则AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4，BD2=OB2+OD2=42+22=20；
    ∵AD•BD=10，
    ∴AD2•BD2=100；
    ∴20（m2+4）=100；
    解得m=±1；
    ∵0＜m＜4，
    ∴m=1
    ∴b=m+1=5，c=-4m=-4；
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4；

    （3）答：存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式，
    如：y3=-3（y1-y2）-4（答案不唯一）；
    证明：由题意可得y1=-a2+5a-4，y2=-4a2+10a-4，y3=-9a2+15a-4；
    ∵左边=y3=-9a2+15a-4；
    右边=-3（y1-y2）-4=-3[（-a2+5a-4）-（-4a2+10a-4）]-4
    =-9a2+15a-4；
    ∴左边=右边；
    ∴y3=-3（y1-y2）-4成立．
    分析：（1）在△≥0的前提下，用求根公式进行计算即可．
    （2）根据（1）的结果可得出A、B的坐标，然后求出AD、BD的长，代入AD•DB=10中，即可求得m的值，也就得出了抛物线的解析式．
    （2）分别将E、F、G的坐标代入抛物线的解析式中，可得出含a的y1、y2、y3的表达式，进而判断出y1、y2、y3的等量关系．
    点评：此题主要考查了一元二次方程的解法、二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数解析式的确定等知识．
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    已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．
    （1）求证：方程①有两个实数根；
    （2）求证：方程①有一个实数根为1；
    （3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2-（2m+n）x+m+n的解析式；
    （4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    5、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，m＜5且m为整数．
    （1）求m的值；
    （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2-2（m+1）x+m2的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；
    （3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：关于x的一元二次方程x2-2x+c=0的一个实数根为3．
    （1）求c的值；
    （2）二次函数y=x2-2x+c，当-2＜x≤2时，y的取值范围；
    （3）二次函数y=x2-2x+c与x轴交于点A、B（A左B右），顶点为点C，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍后得到△DEF（即△EDF∽△ABC，相似比为2），使得点D、E恰好在二次函数上且DE∥AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•延庆县二模）已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
    （1）若此方程有实根，求m的取值范围；
    （2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
    （3）在（2）的前提下，二次函数y=mx2-（2m+2）x+m-1与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y=x+b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

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