分析 (1)连接OD.由切线的性质可知OD⊥DF.接下来由AC=AB,OB=OD可证明∠∠ODB=∠C,从而可证明OD∥AC,由平行线的性质可证明DF⊥AC;
(2)连结BE,AD.先证明FD∥BE,由平行线分线段成比例定理可知:F是CE的中点.设⊙O的半径为r,则AB=AC=2r.则CE=2r+2,AF=r-1,在△ABD中由锐角三角函数的定义可知AD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r$.最后依据sin∠ADF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$列出关于r的方程求解即可.
解答 (1)证明:如图1所示:连接OD.
∵DF是⊙O的切线,
∴OD⊥DF.
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC.
∴∠B=∠C.
∴∠ODB=∠C.
∴OD∥AC.
∴DF⊥AC.
(2)解:连结BE,AD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠AEB=90°
∵AB=AC,
∴BD=CD.
∵DF⊥AC,
∴FD∥BE.
∴可得点F是CE的中点.
设⊙O的半径为r,则AB=AC=2r.则CE=2r+2,
∴FC=r+1.
∴AF=r-1.
∵∠ABD=∠C=∠ADF,
∴sin∠ABD=sin∠ACB=sin∠ADF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
∴AD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r$.
∵sin∠ADF=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{r-1}{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r}}$
∴r=3.
点评 本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数的定义,用含r的式子表示出AF、AD的长是解题的关键.
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