Question

在△ABC中，AB=AC=1，BC边上有2006个不同的点P₁，P₂，…P₂₀₀₆，记m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…2006），则m₁+m₂+…m₂₀₀₆=________．

Answer 1

2006
分析：过A作AD垂直BC于D，利用勾股定理，求出BP×PC的表达式，用勾股定理分别表示出AB²、AP²，AB²=AD²+BD²，AP²=PD²+AD²，则可以求出AB²=AP²-PD²+BD²．从而可求出BP×PC的表达式．
解答：由分析得：AB²=AD²+BD²，AP²=PD²+AD²；则AD²=AP²-PD²；
AB²=AP²-PD²+BD²=AP²+（BD+PD）（BD-PD）=AP²+PC×BP；
所以不论P在哪个位置都有AB²=AP_i²+P_iC×BP_i；
由于AB=1，m₁+m₂+…m₂₀₀₆=2006×1=2006，
故题中应填2006．
点评：本题解题关键是找出BP×PC的表达式，主要用到的有勾股定理．根据勾股定理得到的几个表达式进行变形就可以得到BP×PC的表达式．