Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧 上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5

（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接BD，

∵AD是⊙M的直径，∴∠ABD=90°

∴△AOB∽△ABD，

∴ = ，

在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，

根据勾股定理得：AB= ，

∴ ，

∴AD=5，

∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，

∴D（4，0），

把点A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：

，

解得： ，

∴抛物线表达式为：

（2）

解：连接FM，

在Rt△FHM中，FM= ，FH= ，

∴MH= =2，

OM=AM﹣OA= ﹣1= ，

∴OH=OM+MH= +2= ，

∴F（ ， ），

设直线BF的解析式为y=kx+b，

则： ，

∴直线BF的解析式为：y=x﹣2，

连接BF交x轴于点P，∵点E与点B关于x轴对称，

∴点P即为所求，

当y=0时，x=2，

∴P（2，0）

（3）

解：如图，CM=

抛物线 的对称轴为直线x= ，

∵OM= ，∴点M在直线x= 上，

根据圆的对称性可知，点C与点B关于直线x= 对称，

∴点C（3，﹣2），

①当CM=MQ= 时，点Q可能在x轴上方，也可能在x轴下方，

∴Q1（ ， ），Q2（ ， ），

②当CM=CQ时，过点C作CN⊥MQ，

∴MN=NQ=2，∴MQ=4，

∴Q3（ ，﹣4），

③当CQ4=MQ4时，过点C作CR⊥MQ，Q4V⊥CM，

则：MV=CV= ，Q4V= ，

Rt△CRM∽Rt△Q4VM，

∴ ，

解得：MQ4= ，

∴Q4（ ，﹣ ）

综上可知，存在四个点，即：

Q1（ ， ），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣4），Q4（ ，﹣ ）

【解析】（1）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；（2）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；（3）从CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三个方面进行分析，据此即可得解．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．