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    19．如图，OA=OB=10，AB=12，点A在x轴正半轴上，过点O作OC⊥AB于点C，作BD垂直y轴于D，若动点E从原点O出发，沿线段OC向终点C运动，动点F从点D出发，沿线段DO向终点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒．
    （1）请直接写出点A，点D的坐标．
    （2）用含t的表达式表示△OEF的面积．
    （3）设EF与OB相交于点P，当t为何值时，△OPF与△OBD相似？

    分析 （1）根据等腰三角形的性质可直接得出A点坐标；根据三角形的面积公式，进而得出D点坐标；
    （2）过点E作EH⊥OA于点H，如图2所示：根据相似三角形的性质求得OH=$\frac{4t}{5}$，然后根据三角形的面积公式即可得出t的值；
    （3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD两种情况进行讨论．

    解答 解：（1）∵OA=OB=10，点A在x轴正半轴上，
    ∴A（8，0），∵OC⊥AB，
    ∴AC=$\frac{1}{2}$AB=6，
    ∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
    过B作BG⊥x轴于G，则四边形DOGB是矩形，
    ∴BG=OD，
    ∴S△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•BG，
    ∴AB•OC=OA•BG，
    ∵AB=12，OC=8，OA=10，
    ∴BG=$\frac{48}{5}$，
    ∴D（0，$\frac{48}{5}$）；

    （2）过点E作EH⊥OA于点H，如图2所示：
    ∴△OEH∽△OAC，
    ∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OH}{OC}$，
    ∴$\frac{t}{10}$=$\frac{OH}{8}$，
    ∴OH=$\frac{4t}{5}$，
    ∵OF=$\frac{48}{5}$-t，
    ∴S△EFO=$\frac{1}{2}$OF•OH=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{96}{25}$t；
    （3）因为∠BOD=∠FOP，所以应分两种情况讨论：
    ①当∠FPO=∠BDO=90°时，如图3，
    则∠OPE=∠OCB=90°，∴△OPF∽△ODB，△OPE∽△OCB，
    ∴$\frac{OP}{OD}=\frac{OF}{OB}$，$\frac{OE}{OB}=\frac{OP}{OC}$，
    ∴OP•OB=OD•OF，OE•OC=OP•OF，
    ∴OF•OD=OE•OC，
    ∴（$\frac{48}{5}$-t）×$\frac{48}{5}$=8t，
    ∴t=$\frac{288}{55}$；
    ②当∠OFP=∠ODB=90°时，如图4，过P作PH⊥OC于H，
    ∴PH∥BC，∴$\frac{OH}{OC}=\frac{OP}{OB}$，
    ∵EF∥OA，∴∠PEO=∠EOA，
    ∵∠POE=∠AOC，
    ∴∠POE=∠PEO，
    ∴OP=PE，
    ∴OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{t}{2}$，
    ∵△OPF∽△OBD，
    ∴$\frac{OF}{OD}=\frac{OP}{OB}$，
    ∴$\frac{OF}{OD}=\frac{OH}{OC}$，
    ∴$\frac{\frac{48}{5}-t}{\frac{48}{5}}$=$\frac{\frac{t}{2}}{8}$，
    ∴t=6，
    综上所述，当t=$\frac{288}{55}$秒或t=6秒时，△OPF与△OBD相似．

    点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．

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    （1）平移后的抛物线是否经过点B（4，3）？说明你的理由
    （2）在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使S△PAB=7？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
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    （2）求抛物线的解析式；
    （3）点P（m，n）在直线y=-x+$\frac{13}{2}$上方的抛物线上，且∠APB＞60°，求m的取值范围；
    （4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段ON与MD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （1）直接写出点B的坐标．当t=15时求P的坐标；
    （2）点P在运动过程中，当P到BC的距离为3个单位长度时，P的运动时间为15或31秒；
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