Question

11．已知∠ACB=90°，AC=BC，D为平面内一点，AD⊥BD于D，连接DA，DB，DC．
（1）如图①，求证：DA+DB=$\sqrt{2}$DC；
（2）如图②，图③，线段DA．DB，DC之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，连按AB，若AB=6$\sqrt{2}$，∠DCB=30°，则CD=3$\sqrt{3}$+3．

Answer 1

分析 （1）作EC⊥CD交DA延长线于E，证出∠ACE=∠BCD，证明A、C、B、D四点共圆，得出∠CAE=∠CBD，由ASA证明△ACE≌△BCD，得出EC=DC，EA=DB，证出△DCE是等腰直角三角形，得出DE=$\sqrt{2}$DC，即可得出结论；
（2）图②中，作EC⊥CD交DA于E，证出∠ACE=∠BCD，证明A、C、D、B四点共圆，得出∠CAE=∠CBD，由ASA证明△ACE≌△BCD，得出EC=DC，EA=DB，证出△DCE是等腰直角三角形，得出DE=$\sqrt{2}$DC，即可得出结论；
图③中，作EC⊥CD交DB于E，解法同上；
（3）作BM⊥CD于M，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出BM=$\frac{1}{2}$BC，CM=$\sqrt{3}$BM，由等腰直角三角形的性质得出∠BDC=∠BAC=45°，AC=BC=6，得出BM=3，CM=3$\sqrt{3}$，证出△BDM是等腰直角三角形，得出DM=BM=3，即可得出CD的长．

解答 （1）证明：作EC⊥CD交DA延长线于E，如图①所示：
则∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴A、C、B、D四点共圆，
∴∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴EC=DC，EA=DB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$DC，
∵DE=DA+EA=DA+DB，
∴DA+DB=$\sqrt{2}$DC；
（2）解：图②中，DA-DB=$\sqrt{2}$DC；理由如下：
作EC⊥CD交DA于E，如图②所示：
则∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴A、C、D、B四点共圆，
∴∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBD}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴EC=DC，EA=DB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$DC，
∵DE=DA-EA=DA-DB，
∴DA-DB=$\sqrt{2}$DC；
图③中，DB-DA=$\sqrt{2}$DC；理由如下：
作EC⊥CD交DB于E，如图③所示：
则∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴A、D、C、B四点共圆，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴DC=EC，DA=EB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$DC，
∵DE=DB-EB=DB-DA，
∴DB-DA=$\sqrt{2}$DC；
（3）解：图①中；作BM⊥CD于M，如图④所示：
∵∠BCD=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC，CM=$\sqrt{3}$BM，
∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=6$\sqrt{2}$，
∴∠BDC=∠BAC=45°，AC=BC=6，
∴BM=3，CM=3$\sqrt{3}$，
∵BM⊥CD，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴DM=BM=3，
∴CD=CM+DM=3$\sqrt{3}$+3；
图②中解法和答案与图①相同；
故答案为：3$\sqrt{3}$+3．

点评 本题是三角形综合题目，考查的全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、四点共圆、圆周角定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．