Question

【题目】阅读材料，请回答下列问题

材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S＝…①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）

材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，

例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）

（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

Answer 1

【答案】（1）三角形的面积为6；（2）见解析.

【解析】

（1）根据材料，代入公式即可求解；

（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导．

解：（1）设a＝3，b＝4，c＝5，

∵32+42＝25，52＝25，

∴a2+b2＝c2，

a2b2＝144，

∴S＝＝＝6；

∵p＝＝＝6，

p﹣a＝6﹣3＝3，p﹣b＝6﹣4＝2，p﹣c＝6﹣5＝1，

S＝

＝

＝6．

∴三角形的面积为6．

（2）∵[a2b2﹣（）2]

＝[﹣]

＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]

＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a+c﹣b）（b+c﹣a）

＝×2p（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）

＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）

∴＝.