Question

如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，⊙O切AC边于点E，切BC边于点D，连结OE，如果由线段CD、CE及劣弧ED围成的图形（阴影部分）面积与△AOE的面积相等，那么

2AC

BC

的值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：连接OD，则四边形OECD是正方形，根据题意知道S_阴影部分=S_{正方形OECD}-S_扇形ODE=OE²-

1

4

π•OE²，S_△AEO=

1

2

OE•AE，而OE∥CB，由此即可得出

2AC

BC

的值．

解答：
解：如图，连接OD，
∵⊙O切AC边于点E，切BC边于点D，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，
∴四边形OECD是正方形，
而S_阴影部分=S_{正方形OECD}-S_扇形ODE=OE²-

1

4

πOE² S_△AEO=

1

2

OE•AE，
即：OE²（1-

1

4

π）=

1

2

OE•AE，
∴OE：AE=

1

2

：（1-

π

4

），
∵OE∥BC，
∴

BC

AC

=

OE

AE

=

1

2

：（1-

π

4

）．
∴

2AC

BC

=4-π．
故答案为4-π．

点评：此题主要考查正方形的判定和性质，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，平行线的性质，综合性强；添辅线是解题的关键．