Question

7．当x=$\frac{8}{3}$时，y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+16}$有最小值，最小值为10．

Answer 1

分析 把代数式转化成平面直角坐标系中的线段，根据轴对称的性质即可求得．

解答 解：如图，在坐标系中A（0，2），C（8，4），CD⊥x轴于D，A、B关于x轴对称，BC交x轴于P，
则OA=OB=2，OD=8，CD=4，设OP=x，则PD=8-x，
∴PA=$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，PC=$\sqrt{（8-x）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{（x-8）^{2}+16}$，
∵A、B关于x轴对称，
∴PB=PA，
由题意可得：△BOP∽△CDP，
则$\frac{BO}{DC}$=$\frac{OP}{PD}$，
故$\frac{2}{4}$=$\frac{OP}{8-OP}$，
解得：OP=$\frac{8}{3}$，
即x=$\frac{8}{3}$，
过B作BE∥x轴交CD的延长线于E，
∴PA+PC=PB+PC=BC，CE=CD+OB=4+2=6，
∴PA+PC的最小值为BC，
∵BE=OD=8，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴PA+PC的最小值为10．
即y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+16}$的最小值为10．
故答案为：$\frac{8}{3}$，10．

点评 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，A、B关于x轴对称是解题关键．