Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．

（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；

（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；

（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）对称轴为x＝﹣1，点B、C、D的坐标依次为（1，0），（0，﹣3），（﹣1，﹣4）；（2）9；（3）（﹣2，﹣3）．

【解析】

（1）由题意可知该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，而点A（-3，0），求出点B的坐标，进而求解；

（2）根据题意将四边形ABCD的面积分解为△DAM、梯形DMOC、△BOC的面积和，即可求解；

（3）根据题意设点E（x，x2+2x-3），则点F（x，-x-1），求出EF、FH长度的表达式，即可求解．

解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，而点A（﹣3，0），

∴点B的坐标为（1，0），

∵c＝﹣3，故点C的坐标为（0，﹣3），

∵函数的对称轴为x＝﹣1，故点D的坐标为（﹣1，﹣4）；

（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，

则OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，

∴，

∴，

∴，

∴ ；

（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，

故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，

将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，

设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣1），

则EF＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，

∵EF＝2FH，

∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），

故m＝﹣2.

故点E的坐标为：（﹣2，﹣3）．