Question

【题目】（旧知再现）圆内接四边形的对角 .

如图①，四边形是的内接四边形，若，则 .

（问题创新）圆内接四边形的边会有特殊性质吗？

如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：

证明：如图③，作，交于点.

∵，

∴，

∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）

（应用迁移）如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长.

Answer 1

【答案】【旧知再现】互补， 110；【问题创新】见解析；【应用迁移】

【解析】

【重温旧知】根据圆周角定理，得出，，化简得出，利用等腰三角形的两个底角相等和圆内接四边形对角互补，即可得；
【提出问题】所得等式两边加上ADBC，右边变形后即可得证；
【应用迁移】由上题的结论，根据为等边三角形，可得AB=AC=BC，代入化简即可求出PA的长.

（1）如图示：

连接OA，OC，根据圆周角定理，

则有：，

∴

∴圆内接四边形的对角互补；

∵，

∴在等腰三角形ABD中，

∴

（2）证明：如图，

∵

∴，即，

又∵，

∴

∴，即

∴，

∴，

（3）

由（2）可知

∵是等边三角形，

∴，

∴，

∴即.