Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0（k≥1）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

Answer 1

分析：（1）先由k≠0，确定此方程为一元二次方程．要证明方程总有两个实数根，只有证明△≥0，通过代数式变形即可证明；
（2）先利用求根公式求出两根，x₁=-1，x2=1-

2

k

，只要2被k整除，并且有k≥1的整数，即可得到k的值．

解答：证明：（1）∵k≥1，
∴k≠0，此方程为一元二次方程，
∵△=4-4k（2-k）=4-8k+4k²=4（k-1）²，
而4（k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴方程恒有两个实数根．
（2）解：方程的根为x=

-2± 4(k-1)2

2k

=

-1± (k-1)2

k

，
∵k≥1，∴x=

-1± (k-1)2

k

=

-1±(k-1)

k

．
∴x₁=-1，x2=1-

2

k

，
∵k≥1，若k为整数，
∴当k=1或k=2时，方程的两个实数根均为整数．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了解方程的方法和整数的整除性质．