Question

【题目】如图，直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣4）2﹣16（a＞0）交x轴于点E，F（E在F的左边），交y轴于点C，对称轴MN交x轴于点H；直线y＝x+b分别交x，y轴于点A，B．

（1）写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标（用含a的代数式表示）．

（2）若AF＝AH＝OH，求证：∠CEO＝∠ABO．

（3）当b＞﹣4时，以AB为边作正方形，使正方形的另外两个顶点一个落在抛物线上，一个落在抛物线的对称轴上，求所有满足条件的a及相应b的值．（直接写出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）D（4，﹣16），点C的纵坐标为16a﹣16；（2）见解析；（3）a＝，b＝﹣2或a＝，b＝﹣1或a＝，b＝4．

【解析】

（1）从抛物线的顶点式就可以知道抛物线的顶点坐标，点C的纵坐标令x=0即可．

（2）求证两个角相等，可以证这两个角的三角函数相等．

（3）分情况讨论，利用全等三角形找到线段之间的数量关系，表示点坐标，代入解析式即可求出a、b．

（1）∵抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣16，

∴抛物线的顶点D的坐标为（4，﹣16），

当x=0时，y=16a﹣16，

∴点C的纵坐标为16a﹣16．

（2）∵D（4，﹣16），

∴OH=4．

∵AF=AH=OH，EH=HF，

∴F（12，0），A（8，0），E（﹣4，0），

将点F代入抛物线解析式得：

∴0=a（12﹣4）2﹣16，a，

将点A代入直线解析式得：8+b=0，b，

将a代入点C的纵坐标得：∴16a﹣16=﹣12，

∴C（0，﹣12），OC=12，tan∠CEO3，tan∠OBA3，

∴∠CEO=∠ABO．

（3）分三种情况讨论：

①如图所示．

∵yx+b，当x=0时，y=b，

∴B（0，b），

过点E作EG垂直于NF，设对称轴与x轴的交点为M，BG与y轴的交点为点H．

∵四边形EFAB为正方形，可知△EFG≌△ABO（AAS），△FMA≌△ABO（AAS），∴OB=AM=FG=﹣b．

∵抛物线的对称轴为直线x=4，

∴OA=FM=EG=4﹣b，

∴A（4﹣b，0），E（b，4），

将点A代入直线解析式得：0（4﹣b）+b，解得：b=﹣2，

∴E（﹣2，4），

∴4=a（﹣2﹣4）2﹣16，

解得：a．故a，b=﹣2．

②如图所示．

△OBA≌△AFG（AAS），△OBA≌△BEQ（AAS），

∴OB=EQ=AG=﹣b，

∴OA=FG=BQ=4+b，

∴A（4+b，0），E（﹣b，﹣4），

将点A代入直线解析式得：0（4+b）+b，解得：b=﹣1，

∴E（1，﹣4），将点E（1，﹣4）代入抛物线解析式得：﹣4=a（1﹣4）2﹣16，

解得：a．故a，b=﹣1．

③如图所示．

△ABO≌△EAG（AAS），△ABO≌△FBH（AAS），

∴OB=BH=AG=4，

∴b=4，

∴OA=12，EG=12，

∴E（﹣8，﹣12），

代入抛物线解析式得：﹣12=a（﹣8﹣4）2﹣16，解得：a．

故a，b=4．

综上所述：a，b=﹣2或a，b=﹣1或a，b=4．