Question

如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线y=-

2

3

x²+

8

3

x上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里．
（1）设点A的坐标为（x，y），试求矩形的周长p关于变量x的函数的解析式，并写出x的取值范围；
（2）是否存在这样的矩形ABCD，它的周长p=9？试证明你的结论．

Answer 1

（1）令-

2

3

x²+

8

3

x=0，
得：x₁=0，x₂=4，
则抛物线与坐标轴两交点的坐标为O（0，0）和E（4，0），
设OB=x（0＜x＜2），由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x，
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-

2

3

x²+

8

3

x）=-

4

3

x²+

4

3

x+8（0＜x＜2）．

（2）不存在．
先假设存在周长为9的矩形ABCD，则-

4

3

x²+

4

3

x+8=9，
化简得：4x²-4x+3=0，
则有△=16-48＜0，
∴方程无实数根，即不存在这样的矩形．